Resumen: Revisaremos un trabajo reciente de V. Dimitrov que relaciona la teoría de la capacidad con el problema general de cuantificar el tamaño de números algebraicos.

Resumen: El análisis de sobrevivencia es un conjunto de métodos estadísticos que se emplean para describir, explicar o predecir el tiempo hasta que ocurra un evento. El término "análisis de supervivencia" se origina en su aplicación inicial para analizar el tiempo hasta la muerte debido a una enfermedad. No obstante, estos mismos métodos son útiles, por ejemplo, para modelar el tiempo hasta que falle un componente en una línea de producción o para prever cuánto tiempo un cliente permanecerá utilizando un servicio. Aunque los modelos de análisis de supervivencia tienen similitudes con los modelos lineales generalizados, tienen la particularidad de manejar tiempos de falla censurados, que ocurren cuando un individuo no ha experimentado el evento durante el período de observación. Este curso se centrará en los conceptos fundamentales del análisis de sobrevivencia, incluyendo métodos descriptivos y algunos modelos estadísticos ampliamente empleados, junto con enfoques para tratar observaciones parciales. Se examinarán ejemplos e implementaciones en el software estadístico R.

Resumen: Todo fenómeno aleatorio tiene asociado dos fuentes de incertidumbre, la llamada incertidumbre epistémica, relacionada a la falta de información y la incertidumbre aleatoria, la cual corresponde a las chances intrínsecas de la variación del sistema. Para estudiar los fenómenos aleatorios, los estadísticos empleamos la inferencia estadística. En inferencia paramétrica, típicamente se asume una familia paramétrica para modelar la incertidumbre aleatoria y se transfiere toda la incertidumbre epistémica al valor del parámetro, el cual es finito-dimensional. En inferencia no-paramétrica, el parámetro tiene un carácter infinito-dimensional. Se puede aprender de la incertidumbre epistémica y la aleatoria que gobierna el fenómeno bajo estudio. La subjetividad no es completamente removida, pero sí reducida cuando sólo seleccionamos la medida de de Finetti. El curso introduce los conceptos de intercambiabilidad, distribuciones a priori, posteriori y predictiva. Se discuten distribuciones a priori sobre medidas aleatorias, su aplicación en modelos de mezclas infinitas y la inferencia a posteriori. Los conceptos anteriores se ejemplifican con modelos implementados en R.

Resumen: La teoría ergódica es el estudio de los sistemas dinámicos desde la perspectiva de la teoría de la medida. En las dos primeras sesiones de este curso utilizaremos algunos ejemplos clásicos para ilustrar, de manera elemental, algunos métodos e ideas clásicas de la teoría. Revisaremos nociones de recurrencia, ergodicidad y equidistribución. Consideraremos ejemplos que provienen de la geometría y de la aritmética vistos como sistemas dinámicos. Por ejemplo, el flujo geodésico y la descomposición en fracciones continuas. En la última sesión discutiremos un trabajo en curso en el que mediante herramientas de teoría ergódica probamos la equidistribución de ciertos números racionales en el intervalo unitario.

Resumen: Muchos teoremas de análisis comienzan con una frase del tipo "Sea f una función diferenciable". Sin embargo, una gran variedad de fenómenos, desde la física hasta las finanzas, no se pueden reproducir bajo las hipótesis usuales de diferenciabilidad.

En esta charla, daremos un sobrevuelo de dos contextos donde las funciones no diferenciables juegan un papel protagónico. Primero, las ecuaciones diferenciales rugosas, donde es necesario extender la integral de Riemann-Stieljes más allá del contexto clásico, y, segundo, las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, que requieren aprender a "multiplicar" distribuciones.

Resumen: Human immunodeficiency virus (HIV) dynamics have been the focus of epidemiological and biostatistical research during the past decades to understand the progression of acquired immunodeficiency syndrome (AIDS) in the population. Although there are several approaches for modeling HIV dynamics, one of the most popular is based on Gaussian mixed-effects models because of its simplicity from the implementation and interpretation viewpoints. However, in some situations, Gaussian mixed-effects models cannot: (a) capture serial correlation existing in longitudinal data, (b) deal with missing observations properly, and (c) accommodate skewness and heavy tails frequently presented in patients' profiles. For those cases, mixed-effects state-space models (MESSM) become a powerful tool for modeling correlated observations, including HIV dynamics, because of their flexibility in modeling the unobserved states and the observations in a simple way. Consequently, our proposal extends the idea introduced in Hernández-Velasco et al. (2020) by considering a MESSM where the observations' error distribution is a skew-t. This new approach is more flexible and can accommodate data sets exhibiting skewness and heavy tails. Under the Bayesian paradigm, an efficient Markov Chain Monte Carlo algorithm is implemented. To evaluate the properties of the proposed models, we carried out some exciting simulation studies, including missing data in the generated data sets. Finally, we illustrate our approach with an application in the ACTG-315 clinical trial data set. Joint work with Lina Hernández-Velasco, Carlos Abanto-Valle and Dipak Dey.

Resumen: En esta charla presentaré un panorama sobre las Desigualdades de Lieb--Thirring las que relacionan sumas de momentos de los niveles de energía del operador de Schrödinger con integrales de potencias del correspondiente potencial. Estas desigualdades fueron introducidas en 1975 por Elliott Lieb y Walter Thirring como una herramienta en su demostración de la estabilidad de la materia. En los casi 50 años desde su introducción ha habido un gran desarrollo en torno a ellas. Sin embargo, aún hay conjeturas abiertas. Una de los problemas abiertos que presentaré en esta charla tiene relación con una desigualdad isoperimétrica para curvas cerradas de longitud dada en el plano y que tiene relación con antiguos resultados de geometría que van hasta Leonhard Euler.

Resumen:

Resumen: En esta charla introduciremos discretizaciones espaciales usando métodos de elementos finitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales con estructura Hamiltoniana. Discutiremos algunas propiedades básicas de conservación de este tipo de ecuaciones e ilustraremos la relevancia de estas al proponer aproximaciones basadas en discretizaciones espaciales y temporales.

Mostraremos que, el punto clave para imitar estas propiedades de conservación a nivel discreto, es preservar la estructura Hamiltoniana de las ecuaciones en las aproximaciones numéricas y luego usar integradores de tiempo del tipo simplécticos.

Discutiremos métodos de elementos finitos del tipo Galerkin continuo, métodos mixtos, y Galerkin discontinuo, aplicados a problemas de propagación de ondas. Además se mencionarán proyectos en desarrollo por estudiantes del doctorado en matemáticas y magister en ciencias de la ingeniería.

Resumen: Se propone un estimador robusto del parámetro estructural en un modelo funcional con errores en las variables. Las propiedades teóricas, la facilidad de implementación y los resultados empíricos sobre datos reales y simulados muestran un comportamiento satisfactorio del estimador propuesto y sus ventajas sobre el estimador máximo verosímil en presencia de outliers.

Resumen: Las superficies mínimas son uno de los objetos más estudiados en geometría diferencial y están relacionadas con áreas como las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), el análisis complejo, el cálculo de variaciones, la teoría geométrica de la medida y la relatividad general. En esta charla presentamos una visión general de los avances recientes en la teoría de existencia de superficies mínimas a través de técnicas variacionales en conexión con la resolución de conjeturas en el área. También discutimos algunas conexiones entre estas superficies y una EDP que surge en la teoría de transiciones de fase la cual se puede explorar desde perspectivas analíticas y geométricas.

Resumen:El Transporte electrónico es un objeto central en el estudio de la conducción en la materia condensada. Recientemente, el desarrollo de nuevos materiales como el grafeno ha abierto las puertas a nuevas tecnologías con aplicaciones en nano-ingeniería y telecomunicaciones. Desde un punto de vista matemático, la física de estos sistemas se codifica en las propiedades espectrales y dinámicas de operadores aleatorios.

En esta charla, veremos una introducción heurística al tema de localización dinámica y presentaremos algunas herramientas de la teoría espectral que nos permiten estudiar las propiedades de estos sistemas y describir los fenómenos de transición que exhiben algunos modelos.