PROGRAMA DE CURSOS

Curso 1: Análisis de Datos Longitudinales

Profesor: Mauricio Castro

Resumen: Los estudios en los que los datos son recopilados repetidamente sobre una muestra de individuos a lo largo del tiempo están presentes en diferentes áreas del saber como las ciencias de la salud, ciencias sociales, agronomía, biología, educación entre muchas otras. Los aspectos relevantes a considerar en este tipo de estudios son las diferentes estructuras de correlación existentes entre las observaciones de un mismo individuo a lo largo del periodo de medición. En ese contexto es que los modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos longitudinales se han convertido en herramientas esenciales en la práctica diaria de los estadísticos y analistas de datos. Este curso proporcionará una visión general de los modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos longitudinales, discutiendo sus principales ventajas y desventajas e ilustrando su uso con ejemplos reales a través de R y SAS.

Curso 2: Problemas de identificabilidad en las ciencias sociales: un enfoque de identificabilidad parcial

Profesor: Ernesto San Martín

Resumen: ¿Cuándo enfrentamos un problema de identificabilidad? Si aceptamos la teoría de probabilidad como el concepto básico del modelamiento estadístico, entonces consideramos las observaciones de una población determinada como la realización de distribuciones de probabilidad, las que a su vez están caracterizadas por parámetros. Los parámetros corresponden a propiedades de la población bajo estudio. Cuando atribuímos o buscamos propiedades de la población que no se pueden representar por medio de parámetros de dichas distribuciones, entonces tenemos un problema de identificación.

En este curso queremos estudiar los problemas de identificación que surgen principalmente en Ciencias Sociales. Discutiremos cuatro de estos problemas:

1. 1. Evaluación de impacto de políticas públicas usando datos observacionales: mostraremos cómo la evaluación induce diferentes comportamientos inductivos (Neyman) de acuerdo a diferentes maneras de resolver el problema de identificación subyacente.
2. 2. ¿Por qué los experimentos controlados aleatorizados no son del todo confiables? Discutiremos un experimento social que ha sido utilizado por gobiernos para justificar por qué es necesario exponer a niños y niñas a la educación pre-básica. Mostraremos cómo la extrapolación del experimento depende fuertemente de las variadas formas de resolver el problema de identificación.
3. 3. El monitoreo que los gobiernos hacen de los eventuales progresos educacionales exige poder comparar los puntajes que obtienen diferentes grupos de estudiantes que se enfrentan a diferentes pruebas estandarizadas. Mostraremos cuán inverosímil es la solución que se utiliza, inverosimilitud que se debe al complejo problema de identificabilidad subyacente.
4. 4. Finalmente, mostraremos algunos análisis de datos que surgen de elecciones. Estudiaremos el plebiscito realizado en Chile en octubre de 2020, y las elecciones presidenciales de 2021 realizadas en Perú. Mostraremos los problemas de identificabilidad inherentes debido al secreto del voto, y cómo estos problemas ponen en jaque muchos análisis estadísticos realizados con dichos datos.

Curso 3: Lógica y Computabilidad

Profesor: Pablo Barceló, Cristóbal Rojas

Resumen:En este curso presentamos las nociones básicas de la lógica de primer orden, su expresividad para describir clases de modelos, y los resultados fundamentales de computabilidad asociados a los problemas de satisfacibilidad y evaluación de teorías lógicas, entre otros

Curso 4: Superficies mínimas, estabilidad y transiciones de fase

Profesor: Nikola Kamburov, Mariel Saez

Resumen: El estudio de superficies mínimas es un problema clásico en geometría, que estudia superficies que localmente minimizan area. Sus orígenes están en el siglo XIX, pero aún hay aspectos de esta teoría que son objeto de investigación.

En este cursillo estudiaremos la definición y motivación para el estudio de estos objetos matemáticos, algunos problemas clásicos relacionados con ellas y finalmente sus conexiones con ecuaciones diferenciales y problemas de transición de fases.

Curso 5: Geometría Tórica

Profesor: José Samper, Giancarlo Urzúa

Resumen: El propósito del curso es introducir algunas herramientas de geometría tórica, y mostrar aplicaciones en torno a combinatoria y geometría algebraica. Las cuatro clases girarán alrededor de ejemplos claves con el objetivo de dar una guía para un posterior estudio más sistemático de la teoría junto con sus múltiples conexiones con diversas ramas de la matemática. Por el lado de la geometría algebraica los tópicos del curso incluyen singularidades tóricas, sus resoluciones y relaciones con fracciones continuas y sumas de Dedekind. Por el lado combinatórico se discutirá la relación entre variedades tóricas proyectivas con geometría poliedral y cómo esta relación ha influenciado el estudio de problemas clásicos como el conteo de caras de diferentes tipos de politopos.

Charla 1: Ecuaciones integrales de frontera para propagación de ondas acústicas

Elwin van‘t Wout, Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Resumen: Las ecuaciones integrales de frontera se utilizan comúnmente para simular la propagación de ondas acústicas y electromagnéticas. Una ventaja clave es su formulación en la superficie de los objetos, reduciendo la dimensión del problema. La discretización numérica con el método de elementos de borde, por lo tanto, resuelve los problemas de reflexión de manera eficiente. Dado que es necesario definir los potenciales de superficie, existen muchas formulaciones de integrales de frontera diferentes para la misma situación física. Si bien esto permite formulaciones especializadas, esta libertad de diseño también es un desafío para los usuarios que necesitan elegir el modelo apropiado para su problema específico. Esta charla investigará la influencia de los parámetros físicos como la frecuencia, la densidad y la velocidad de la onda en la eficiencia del método de elementos de borde. Estos resultados permiten tomar una decisión informada sobre la elección correcta del modelo, como se mostrará con simulaciones a gran escala de ultrasonido médico, acústica subacuática y proteínas.

Charla 2: Tamaño Muestral Efectivo en el Modelamiento Geoestadístico

Jonathan Acosta, Departamento de Estadística, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Resumen: El concepto fundamental en el modelamiento geoestadístico es la noción de cercanía ya que se asume que mientras más cercanas (espacialmente) están dos observaciones, éstas posean un correlación más fuerte. Esto permite, entre otras cosas, construir mapas de predicciones más precisos. Sin embargo, la dependencía en la muestra provoca problemas en la inferencia ya que una muestra dependiente de tamaña n, en realidad no tiene la misma información que una muestra independiente de tamaño n, llegando en algunos casos a tener menos del 30% de la información. El tamaño muestral efectivo da cuenta del número equivalente de observaciones independientes contenidas en una muestra de datos correlacionados. Esta noción ha sido ampliamente estudiada en el contexto de las variables espaciales univariantes. No obstante, para datos multivariados la literatura del tamaño muestral efectivo es relativamente nueva y tiene varios problemas técnicos que dificultan su extensión. En esta charla veremos diferentes formas del tamaño muestral efectivo para problemas univariados, donde junto con la definición proporcionamos ejemplos de aplicaciones. Además, mostraremos una extensión al caso de variables espaciales multivariantes.

Charla 3: Sobre sistemas dinámicos, grupos y árboles

María Isabel Cortez, Departamento de Matemática, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Resumen: En esta charla introduciremos el concepto de sistema dinámico, enfocándonos en algunos ejemplos y sus propiedades. Además veremos cómo podemos conectar el estudio de estos objetos con otras áreas de la matemática.

Charla 4: Inferencia estadística a partir de una muestra de una red social

Isabelle Beaudry, Departamento de Estadística, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Resumen: El análisis estadístico de redes sociales tuvo un crecimiento rápido en las últimas décadas. La popularidad de este campo de estudio se atribuye en parte a la amplia gama de aplicaciones de la teoría de redes sociales, por ejemplo, el análisis de interacciones humanas, de relaciones económicas y políticas entre países, de propagación de enfermedades contagiosas, de formación de enlaces en internet, etc. Debido a razones prácticas, tal como el costo alto de recolectar datos sobre una red entera y la factibilidad de almacenar una gran cantidad de datos, en muchos casos, sólo se observa una porción de la red. En esta charla hablaremos de estrategias comunes para tomar muestras de una red social y de algunos métodos para hacer inferencia sobre la dicha población conectada por una red cuando se observa sólo una muestra.

Charla 5: Convergence of variational problems and an example with liquid crystals

Jamie Taylor, Basque Center for Applied Mathematics.

Resumen: Many physical systems have their equilibrium states described by minimisers of an energy functional. In real systems certain parameters are often very large or very small, and we wish to understand their limiting behaviour in these extreme regimes, often with a view to simplify the mathematical model at hand. In this talk we will discuss a rigorous method of studying the convergence of minimisation problems and provide an example in the context of liquid crystals.

Charla 6: A numerical multiscale method for convection dominated diffusion equations in 2D

Mira Schedensack , Mathematisches Institut, Universität Leipzig.

Resumen: This talk considers the convection diffusion problem. For small diffusions, this is a singularly perturbed problem and the standard finite element method shows large oscillations. The talk introduces a quasi-optimal Petrov-Galerkin method based on the variational multiscale method. In an ideal setting, this method computes the nodal interpolation of the solution. To make the method practical, the pre-computed test functions are localised, which is justified by the exponential decay of these functions. The localisation depends on the direction of the velocity field and the singular perturbation parameter. Under moderate assumptions, this stabilization guarantees stability and quasi-optimal rate of convergence on fairly coarse meshes at the cost of additional inter-element communication.