Resumen: En este curso vamos a discutir algunos aspectos de la topología y la combinatoria de espacios de configuraciones. En la primera parte nos enfocaremos en estudiar algunos invariantes topológicos de los espacios de configuraciones de puntos en el plano y en cómo uno de ellos, el anillo de cohomología, puede describirse de una forma puramente combinatórica. En la segunda parte discutiremos otras variantes, fenómenos, generalizaciones y problemas que se desprenden del estudio de dichos espacios, por ejemplo, esquemas de Hilbert, estabilidad homológica, invarianza homotópica, entre otros.
Resumen: La Mecánica Estadística es el estudio del comportamiento macroscópico de sistemas constituidos por una cantidad significativa de componentes microscópicos. Cuando estos sistemas se encuentran en equilibrio térmico, existe una teoría bien establecida basada en el principio de máxima entropía, y que tiene conexiones con diversas áreas de la matemática tales como la Teoría de Probabilidades y la Teoría Ergódica.
Un ejemplo clásico es el modelo de Ising, que busca entender las propiedades magnéticas de cierto tipo de materiales compuestos por un gran número de partículas con carga dispuestas en una estructura cristalina. Otros ejemplos relevantes son los modelos de gases, que describen la distribución de las partículas de un gas en un determinado medio, y los modelos de percolación, que estudian propiedades de permeabilidad en medios porosos. En todos estos casos, se busca entender propiedades globales del sistema y su dependencia en términos de cantidades tales como la temperatura, la densidad de partículas, la porosidad del medio, entre otras.
Desde los inicios de la Mecánica Estadística, la geometría y sus diferentes manifestaciones han jugado un rol clave para entender muchos aspectos de la teoría, en particular en el estudio de los estados de equilibrio y las transiciones de fase. En este curso buscaremos presentar estos conceptos y entender las conexiones que existen con otros objetos de naturaleza geométrica, a saber, grafos, grupos, símplices, etc. Veremos cómo esto nos permite elucidar la estructura del conjunto de estados de equilibrio y, a su vez, la geometría propia de cada uno de éstos.
Resumen: En este curso, estudiaremos el formalismo matemático de la mecánica cuántica, enfocándonos en operadores de Schrödinger discreto. En una primera parte, estudiaremos los aspectos fundamentales de operadores acotados auto-adjuntos y su espectro. Luego, discutiremos la relación entre el tipo de espectro de un operador y las propiedades de su dinámica
Temario:
Bibliografía:
W. Kirsch, An Invitation to Random Schrödinger Operators M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics Vol. I G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Dynamics
Resumen: Un flujo geométrico es la deformación de variedades riemannianas de acuerdo a leyes determinadas por su geometría. En esta charla presentaré algunos de los ejemplos más conocidos de estos flujos, resultados relevantes y problemas abiertos en esta área.
Resumen: El análisis numérico de ecuaciones diferenciales parciales es un tema de investigación matemática amplio y activo. Importantes modelos físicos y de ingeniería tienen representación como problema de ecuación en derivadas parciales. Solo en casos excepcionales pueden resolverse de manera analítica por lo cual suelen usarse métodos numéricos.
En esta charla discutimos un tema fundamental del análisis de tales métodos, la llamada condición inf-sup. Esta condición describe la estabilidad de un problema lineal y es sumamente importante para el buen funcionamiento de un método numérico relacionado. Discutimos esto para un problema de reacción-difusión y su resolución por elementos finitos. Esta discusión motiva la formulación de un método avanzado, llamado método DPG. Se trata de una estrategia reciente que tiene importantes ventajas frente el uso de elementos finitos estándares, y que ha conducido a interesantes temas de investigación.
Resumen: El área de grafos aleatorios se caracteriza por problemas típicamente muy sencillos a definir, cuyas soluciones a veces no son tan sencillas. En esta charla (más bien informal) explicamos distintos modelos de grafos aleatorios, sus aplicaciones, sus conexiones con percolación y también algunas ideas de demostraciones que a veces vienen de áreas muy distintas.
Resumen: Las raíces de la unidad de orden n se distribuyen sobre el círculo unitario como los vértices de un polígono regular de n lados. Mientras más grande es n, mejor se aproxima el polígono al círculo. Llevando esta descripción al límite, decimos que las raíces de la unidad se distribuyen uniformemente en el círculo.
En muchas situaciones es posible determinar la distribución asintótica de familias de números algebraicos (o más generalmente, subvariedades algebraicas de una variedad considerada "ambiente"). En esta charla revisaremos algunos ejemplos de interés, donde la determinación de la distribución asintótica permite obtener consecuencias en geometría diofantina.
Resumen: La detección de datos atípicos (outliers) y/o influyentes, es una etapa importante en cualquier análisis estadístico. Esto es esencial para evaluar la sensibilidad (robustez) de los resultados obtenidos, con el conjunto de datos disponibles, ya que observaciones atípicas pueden distorsionar las estimas de los parámetros, conduciendo en algunos casos a decisiones erróneas. Existen varias alternativas para evaluar la influencia de perturbaciones en los datos y/o en los supuestos del modelo sobre los estimadores de los parámetros de interés. En este curso discutimos los métodos de eliminación de casos y de influencia local, y su aplicación a algunos modelos de regresión.
Resumen: El análisis de sobrevivencia es un conjunto de métodos estadísticos que se utilizan para describir, explicar o predecir el tiempo hasta la ocurrencia de un evento. El nombre análisis de sobrevivencia deriva de sus usos iniciales para analizar el tiempo hasta la muerte producto de alguna enfermedad. Sin embargo, los mismos métodos son apropiados, por ejemplo, para modelar el tiempo hasta la falla de un componente en una línea de producción, o para modelar el tiempo que permanecerá un cliente utilizando un servicio. Aunque los modelos de análisis de sobrevivencia comparten similitudes con los modelos lineales generalizados, éstos tienen la particularidad de lidiar con tiempos de falla censurados, fenómeno que ocurre, por ejemplo, cuando un individuo no ha experimentado el evento en el tiempo de observación. Este curso introducirá conceptos básicos del análisis de sobrevivencia, incluyendo métodos descriptivos y algunos modelos estadísticos ampliamente utilizados. Se discutirán ejemplos e implementaciones en el software estadístico R.
Resumen: La aplicación de métodos de análisis de supervivencia ha ganado mucha atención en las últimas décadas buscando mejorar la toma de decisiones basada en datos. En esta presentación discutiremos algunos conceptos básicos así como diferentes aplicaciones que van desde la confiabilidad de los sistemas electrónicos hasta cómo describir la vida de los emperadores romanos
Resumen: El propósito de esta charla es la discusión y revisión de algunas clases de modelos de particiones aleatorias, destacando en particular las conexiones con modelos Bayesianos no Paramétricos. Se discutirá además la noción de repulsión para inducir clustering parsimonioso. Finalmente, varias aplicaciones recientes serán además mencionadas.
Resumen: La comparabilidad de mediciones recolectadas bajo diversas circunstancias, y realizadas utilizando distintos instrumentos de medición, es una pre-condición fundamental para todas las ciencias. Por ejemplo, en el contexto de medición educacional, los puntajes de pruebas estandarizadas se utilizan para tomar decisiones importantes en diversos contextos. El problema de reporte y uso justo y equitativo de los puntajes de pruebas estandarizadas ha sido ampliamente estudiado bajo el paradigma de los denominados métodos de equating.
En esta charla introduciremos los denominados métodos de equating y mostraremos una definición formal de los modelos estadísticos que subyacen a los métodos. Se discutirán algunos problemas del modelamiento estadístico para situaciones en que la información que proveen los puntajes de las pruebas es observada solo parcialmente.
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